Homogenized and analytical models for the diffusion MRI signal
Modélisation du signal de l’IRM de diffusion par des techniques analytiques et d’homogénéisation
Résumé
Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is an imaging modality that probes the diffusion characteristics of a sample via the application of magnetic field gradient pulses. An important quantity measured in dMRI in each voxel is the Apparent Diffusion Coefficient (ADC). There is a large variety of macroscopic models for ADC in the literature, ranging from simple to complicated. The goal of this thesis is to derive simple (but sufficiently sound for applications) models starting from fine PDE modelling of diffusion at microscopic scale using homogenization techniques.
In a previous work, the homogenized FPK model was derived starting from the Bloch-Torrey PDE equation under the assumption that membrane’s permeability is small and diffusion time is large. We first analyse this model and establish a convergence result to the well known Kärger model as the magnetic pulse duration goes to 0. In that sense, our analysis shows that the FPK model is a generalisation of the Kärger one for the case of arbitrary duration of the magnetic pulses.
The ADC for the FPK model is time-independent which is not compatible with some experimental observations. Our goal next is to correct this model for small so called b-values so that the resulting homogenised ADC is sensitive to both the pulses duration and the diffusion time. To achieve this goal, we employed a similar homogenization technique as for FPK, but we include a suitable time and gradient intensity scalings for the range of considered b-values. We also obtain some analytical approximations (using short time expansion of surface potentials for the heat equation and eigenvalue decompositions) of the asymptotic model that yield explicit formulas of the time dependency of ADC.
Finally we explored the inverse problem of determining qualitative information on the cells volume fractions from measured dMRI signals. While finding sphere distributions seems feasible from measurement of the dMRI signal, we show that ADC alone would not be sufficient to obtain this information.
L’imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMD) est une technique d’imagerie qui teste les propriétés diffusives d’un échantillon en le soumettant aux impulsions d’un gradient de champ magnétique. Une importante quantité mesurée par l’IRMD dans chaque voxel est le Coefficient de Diffusion Apparent (CDA). Il existe dans la littérature un nombre important de modèles macroscopiques décrivant le CDA allant du plus simple au plus complexe. Le but de cette thèse est de construire des modèles simples, disposant d’une bonne validité applicative, en se fondant sur une modélisation de la diffusion à l’échelle microscopique à l’aide d’EDP et de techniques d’homogénéisation.
Dans un article antérieur, le modèle homogénéisé FPK a été déduit de l’EDP de Bloch-Torrey sous l’hypothèse que la perméabilité de la membrane soit petite et le temps de diffusion long. Nous effectuons tout d’abord une analyse de ce modèle et établissons sa convergence vers le modèle classique de Kärger lorsque la durée des impulsions magnétiques tend vers 0. Notre analyse montre que le modèle FPK peut être vu comme une généralisation de celui de Kärger, permettant la prise en compte de durées d’impulsions magnétiques arbitraires. Le CDA du modèle FPK est indépendant du temps ce qui entre en contradiction avec nombreuses observations expérimentales. Par conséquent, notre objectif suivant est de corriger ce modèle pour de petites valeurs de ce que l’on appelle des b-valeurs afin que le CDA homogénéisé qui en résulte soit sensible à la fois à la durée des impulsions et à la fois au temps de diffusion. Pour atteindre cet objectif, nous utilisons une technique d’homogénéisation similaire à celle utilisée pour le FPK, tout en proposant un redimensionnement adapté de l’échelle de temps et de l’intensité du gradient pour la gamme de b-valeurs considérées. Nous établissons aussi des résultats analytiques d’approximation du modèle asymptotique qui fournissent des formules explicites de la dépendance temporelle du CDA.
Enfin nous étudions le problème inverse consistant en la détermination d’information qualitative se rapportant à la fraction volumique des cellules à partir de signaux IRMD mesurés.
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