Linear representations of Artin groups
Représentations linéaires des groupes d'Artin
Résumé
Let Г be a Coxeter graph. Let W be the Coxeter group, A be the Artin group, and A+ be the Artin monoid associated with Г. Let G be a group of symmetries of Г. Then G acts on W, A and A+. The fixed subgroup WG is known to be a Coxeter group, the fixed submonoid A+G is known to be an Artin monoid, and, when Г is of spherical type, the fixed subgroup AG is known to be an Artin group. This thesis studies the behavior of WG, A+G and AG with respect to some faithful linear representations of W, A and A+, respectively.Firstly, we consider the rooted representations of the Coxeter groups introduced by Krammer in his Ph. D. Thesis. These are a generalization of the canonical representations. We take such a linear representation f : W → GL(V ), assuming that the action of G on the simple roots extends to V . Then f induces a linear representation fG : WG → GL(V G). We prove that fGis a rooted representation of WG. In particular, fG is faithful.Afterwards, we assume that Г is simply laced, that is, all the edges of Г are label free. Then we consider a faithful linear representation ψ : A+ → GL(E) introduced by Paris. If Г is of spherical type, this representation extends to a faithful linear representation ψ : A → GL(E) of the Artin group. In the case of the braid groups, it is the celebrated representation studiedby Bigelow and Krammer. Take a group G of symmetries of Г. We prove that G acts on E, that the representation ψ : A+ → GL(E) is equivariant, and that it induces a faithful linear representation ψ : A+G → GL(EG). If Г is of spherical type, then we get a faithful linear representation ψ : AG → GL(EG) of the fixed subgroup. Finally, we determine the cases where EG admits a natural basis in one-to-one correspondence with the positive root system of WG. This last result is motivated by the search of an extension of the linear representation ψ : A+ → GL(E) to Artin monoids (or groups) that are not simply laced.
Soit Г un graphe de Coxeter. Soient W le groupe de Coxeter, A le groupe d'Artin, et A+ le monoïde d'Artin, associés à Г. Soit G un groupe de symétries du graphe de Coxeter Г. Alors G agit sur W, A et A+, et il est connu que le sous-groupe fixe, WG, est un groupe de Coxeter, le sous-monoïde fixe, A+G, est un monoïde d'Artin, et, lorsque Г est de type sphérique, le sous-groupe fixe, AG, est un groupe d'Artin. Cette thèse étudie le comportement de WG, A+G et AG par rapport à des représentations fidèles de W, A et A+, respectivement.Dans un premier temps nous considérons les représentations enracinées introduites par Krammer dans sa thèse. Ce sont une généralisation des représentations canoniques. On se donne une telle représentation f : W → GL(V ) et on suppose que l'action de G sur les racines simples s'étend à V . Dans ce cas f induit une représentation linéaire fG : WG → GL(V G). Nous démontrons que cette représentation est aussi une représentation enracinée. En particulier, elle est fidèle.Dans un second temps nous supposons que Г est simplement lacé, c'est-à-dire que les arêtes de Г n'ont pas de poids. Nous considérons une représentation linéaire fidèle ψ : A+ → GL(E) introduite par Paris. Si Г est de type sphérique, alors cette représentation induit une représentation fidèle ψ : A → GL(E) du groupe. Dans le cas des groupe de tresses, c'est la célèbre représentation linéaire fidèle étudiée par Bigelow et Krammer. Nous démontrons que G agit aussi sur E, que la représentation ψ : A+ → GL(E) est équivariante, et qu'elle induit une représentation fidèle ψ : A+G → GL(EG). Si Г est de type sphérique, alors on obtient une représentation fidèle du groupe fixe, ψ : AG → GL(EG). Finalement, nous déterminons les cas où EG admet une base naturelle en bijection avec le système de racines positives de WG. Ce dernier résultat est motivé par la recherche d'une extension de la représentation ψ : A+ → GL(E) aux graphes qui ne sont pas simplement lacés.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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