On the dynamic of orientation reversing homeomorphisms of surfaces
Sur la dynamique des homéomorphismes de surfaces qui renversent l’orientation
Résumé
We first prove that if h is an orientation reversing homeomorphism of the sphere S² without a 2-periodic orbit then the complementary domain of the fixed point set may be foliated with “Brouwer manifolds”. These are 1-dimensional submanifolds (topologically circles, lines or pairs of lines) allowing to define some invariant open sets on which h is conjugated to one of three simple possible models. So, this theorem is a foliated version of a resultat by Bonino asserting that S² \Fix(h) can be covered with Brouwer manifolds. It also appears as a natural counterpart for orientation reversing homeomorphisms of the Le Calvez’s foliated version of the Brouwer’s plane translation theorem. As an application of this foliation theorem, we next obtain the following result about the fixed point index of the iterates of an orientation reversing local homeomorphism h of R²: as soon as 0 is an isolated fixed point of each iterate hⁿ (n ⩾ 1), the Poincaré-Lefschetz indices Ind(h²ᵏ⁻¹,0) and Ind(h²ᵏ,0) do not depend on the integer k ⩾ 1.
Nous prouvons d’abord que si h est un homéomorphisme de la sphère S² renversant l’orientation et sans orbite périodique de période minimale 2, alors on peut feuilleter l’ensemble complémentaire des points fixes avec des “variétés de Brouwer”. Celles-ci sont des sousvariétés de dimension 1 (topologiquement des cercles, des droites ou des paires de droites) permettant de définir des ouverts invariants sur lesquels h est conjugué à un modèle simple parmi trois possibles. Ce théorème est ainsi une version feuilletée d’un résultat de Bonino affirmant que S² \ Fix(h) peut être recouvert par des variétés de Brouwer. Il apparaît aussi comme un analogue, pour les homéomorphismes renversant l’orientation, de la version feuilletée du théorème de translation plane de Brouwer donnée par Le Calvez. Comme application de ce théorème de feuilletage, on obtient ensuite le résultat suivant sur l’indice de point fixe des itérés d’un homéomorphisme local h de R² renversant l’orientation : dès que 0 est un point fixe isolé de tous les itérés hⁿ (n ⩾ 1) les valeurs des indices de Poincaré-Lefschetz Ind(h²ᵏ⁻¹,0) et Ind(h²ᵏ,0) ne dépendent pas de l’entier k ⩾ 1.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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