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Theses Year : 2021

On various graph coloring problems

Sur divers problèmes de coloration de graphes

Abstract

In this thesis, we study some graph coloring problems. We are interested intwo families of colorings.The first one consists in coloring graphs, called signed graphs, modeling social links. These signed graphs dispose of two types of edges: positive edges to represent friendship and negative edges for animosity. Coloring signed graphs is done through the notion of homomorphism: the chromatic number of a signed graph (G, σ) is the smallest order of a signed graph (H, π) to which (G, σ) admits a homomorphism. We study the complexity of homomorphisms of signed graphs when the target graph is fixed and when the input can be modified, giving P/NP-complete dichotomies and FPT/W[1]-hard dichotomies. We also present bounds on the chromatic number of signed graphs when the input graph has few cycles. Finally, we study the relationship between homomorphisms of signed graphs and the Cartesian product of signed graphs.The second family of colorings consists in coloring edges, instead of vertices, according to some constraints. We study four kinds of edge-colorings notions: packing edge-colorings, injective edge-colorings, AVD colorings and 1-2-3-labellings. Packing edge-coloring is a form of proper edge-coloring where each color has its own conflict rule, for example, color 1 may behave according to the rules of proper edge-colorings while color 2 behave according to the rules of strong edge-colorings. We study packing edge-coloring on subcubic graphs and provide bounds on the number of colors necessary to color the graphs. An injective edge-coloring is an edge-coloring where for any path of length 3, the two non-internal edges of the path receive different colors. We determine the complexity of injective edge-coloring for some classes of graphs. For AVD colorings, i.e. a proper edge-coloring where adjacent vertices are incident with different sets of colors, we obtain bounds on the number of colors required to color the graph when the graph has its maximum degree significantly greater than its maximum average degree and when the graph is planar and has maximum degree at least 12. Finally, we prove the Multiplicative 1-2-3 Conjecture, i.e. that every connected graph (which is not just an edge) can be edge-labelled with labels 1, 2 and 3 so that the coloring of G, obtained by associating with each vertex the product of the labels on edges incident with u, is proper.
Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de coloration de graphe. Nous nous intéressons à deux familles de colorations.La première consiste à colorer des graphes, appelés graphes signés, modélisant des relations sociales. Ceux-ci disposent de deux types d’arêtes : les arêtes positives pour représenter l’amitié et les arêtes négatives pour l’animosité. Nous pouvons colorer des graphes signés à travers la notion d’homomorphisme : le nombre chromatique d’un graphe signé (G, σ) est alors le nombre minimum de sommets d’un graphe signé (H, π) tel que (G, σ) admet un homomorphisme vers (H, π). Nous étudions la complexité des homomorphismes de graphes signés quand la cible est fixée et quand l’entrée peut être modifiée, et obtenons des dichotomies P/NP-complet et FPT/W[1]-difficile. Nous obtenons des bornes supérieures sur le nombre chromatique d’un graphe signé quand le graphe a peu de cycles. Enfin, nous étudions les relations entre les homomorphismes de graphes signés et le produit Cartésien des graphes signés.La deuxième famille de coloration consiste à colorer les arêtes au lieu des sommets en respectant différents critères. Nous étudions quatre types de colorations d’arêtes : la coloration d’arêtes « packing », la coloration d’arêtes injective, la coloration AVD et les 1-2-3-étiquetages. La coloration d’arêtes « packing » est une forme de coloration propre d’arêtes où chaque couleur a ses propres règles de conflits, par exemple, la couleur 1 pourrait obéir aux règles de la coloration propre d’arêtes tandis que la couleur 2 obéirait aux règles de la coloration forte d’arêtes. Nous étudions cette forme de coloration sur les graphes subcubiques en donnant des bornes supérieures sur le nombre de couleurs nécessaires pour colorer ces graphes. Une coloration d’arêtes injective est une coloration d’arêtes telle que pour chaque chemin de longueur 3, les deux arêtes aux extrémités du chemin n’ont pas la même couleur. Nous déterminons la complexité de la coloration d’arêtes injective sur plusieurs classes de graphes. Pour les colorations AVD, c’est-à-dire les colorations propres d’arêtes où les sommets adjacents sont incidents à des ensembles de couleurs différents, nous obtenons des bornes supérieures sur le nombre de couleurs requises pour colorer le graphe quand le degré maximum du graphe est significativement plus grand que son degré moyen maximum, ou quand le graphe est planaire et a un degré maximum supérieur ou égal à 12. Finalement, nous prouvons la 1-2-3 Conjecture multiplicative : pour tout graphe connexe (non réduit à une arête), on peut colorer ses arêtes avec les couleurs 1, 2 et 3 de telle manière que la coloration (de sommets) obtenue en associant à un sommet le produit des couleurs de ses arêtes incidentes est propre.
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Origin : Version validated by the jury (STAR)

Dates and versions

tel-03522406 , version 1 (12-01-2022)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03522406 , version 1

Cite

Dimitri Lajou. On various graph coloring problems. Data Structures and Algorithms [cs.DS]. Université de Bordeaux, 2021. English. ⟨NNT : 2021BORD0339⟩. ⟨tel-03522406⟩
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