Andreadakis equality and representation for generalized braid groups
Égalité de Andreadakis et représentation pour des groupes de tresses généralisées
Résumé
The pure welded braid group on n-strands or McCool group PΣn has families of subgroups such as the ordinary pure braid group Pn, the upper triangular McCool group PΣ+n and the partial inner automorphisms group In. It is established that the Andreadakis filtration restricted to PΣ^+_n and the Andreadakis filtration restricted to Pn coincide each with its lower central serie. We prove a similar result for In and we also establish an isomorphism between In and the inner automorphism group Int(PΣ^+_{n+1}) of PΣ^+_{n+1}.We then construct a variant of the Burau representation of the virtual braid group on n-strands VBn which does not factorize into a representation of the group of welded braids WBn. Finally, in the case of the pure welded braids group or McCool group PΣn, we propose an iterative procedure to that of the Long-Moody method which allows to construct a faithful matrix representation of PΣn thus generalizing an extension of the Gassner representation of Pn.
Le groupe de tresses soudées pures sur n-brins ou groupe de McCool PΣn possède des familles de sous-groupes telles que le groupe de tresses pures ordinaires Pn, le groupe de McCool triangulaire supérieur PΣ^+_{n} et le groupe des automorphismes intérieurs partiels In. Il est établi que la filtration d’Andreadakis restreinte à PΣ^+_n et celle restreinte à Pn coïncident chacune avec sa série centrale descendante. Nous démontrons un résultat analogue pour In et nous établissons également un isomorphisme entre In et Int(PΣ^+_{n+1}), le groupe des automorphismes intérieurs de PΣ^+_{n+1}.Nous construisons ensuite une variante de la représentation de Burau du groupe de tresses virtuelles sur n-brins VBn qui ne se factorise pas en une représentation du groupe de tresses soudées WBn. Enfin, dans le cas du groupe de tresses soudées pures ou groupe de McCool PΣn, nous proposons une procédure itérative comparable à celle de la méthode de Long-Moody qui permet de construire une représentation matricielle fidèle de PΣn généralisant ainsi une extension de la représentation de Gassner de Pn.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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