Two results on the classification of singular spaces with semi-negative canonical class
Deux résultats sur la classification des variétés singulières à classe canonique semi-négative
Résumé
The subject of this thesis is to study the classification problem for singular spaces under two different assumptions on the positivity of the anti-canonical class of the spaces and their singularities in these two different setups . We will apply quite different methods for these two assumptions. In the first part, we study the classification problem for polarized varieties. For the positivity of the anti-canonical classes, we assume that the varieties have high nefvalue, or in other words, their anti-canonical classes are quite positive. We give a complete list of isomorphism classes for normal polarized varieties with high nefvalue. This generalizes classical work on the smooth case by Fujita, Beltrametti and Sommese. As a consequence we obtain that polarized varieties with slc singularities and high nefvalue, are birationally equivalent to projective bundles over nodal curves. In the second part, we consider a specific class of singular spaces, namely the orbifolds. An orbifold has quotient singularities. Hence we have milder singularities in this context compared to those considered in first part. We also assume that these orbifolds are compact Kähler with nef anti-canonical classes in the orbifold sense. We will study the topology of these orbifolds by characterizing their orbifold fundamental groups. In this part, we will fully exploit the orbifold assumption by applying results from differential geometry and metric geometry on orbifolds. We will show that a compact Kähler orbifold with nef anti-canonical class has virtually nilpotent orbifold fundamental group.
Le sujet de cette thèse est d'étudier le problème de classification des espaces singuliers sous deux hypothèses différentes sur la positivité de la classe anti-canonique des espaces et de leurs singularités dans ces deux conditions différentes. Nous appliquerons des méthodes assez différentes dans ces deux contextes. Dans la première partie, nous étudions un problème de classification des variétés polarisées. Pour la positivité des classes anti-canoniques, nous supposons que les variétés ont une nefvalue élevée, ou en d'autres termes, leurs classes anti-canoniques sont assez positives. Nous donnons une liste complète des classes d'isomorphisme des variétés polarisées normales avec une nefvalue élevée. Cela généralise le travail classique sur le cas lisse de Fujita, Beltramitti et Sommese. En conséquence, nous obtenons que les variétés polarisées avec des singularités slc et une nefvalue élevée sont birationnellement équivalentes à des fibrés projectifs sur des courbes nodales. Dans la deuxième partie, nous considérons une classe spécifique d'espaces singuliers, à savoir les orbifoldes. Une orbifolde a des singularités quotients. Par conséquence, nous avons des singularités mieux contrôlées dans ce contexte par rapport à celles considérées dans la première partie. Nous supposons également que ces orbifoldes sont kähleriennes compactes avec des classes anti-canoniques nef au sens des orbifoldes. Nous étudierons la topologie de ces orbifoldes à travers leurs groupes fondamentaux orbifoldes. Dans cette partie, nous exploiterons pleinement l'hypothèse orbifolde en appliquant des résultats de géométrie différentielle et de la géométrie métrique sur orbifolds. Nous montrerons qu'une orbifolde kählerienne compacte dont la classe anti-canonique est nef a un groupe fondamental orbifolde virtuellement nilpotent.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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