L-functions of Kloosterman sheaves
Fonctions L des faisceaux de Kloosterman
Résumé
The classical Kloosterman sheaves are l-adic local systems over GmFv whose traces of Frobenius are Kloosterman sums. They are special cases of Kloosterman sheaves for reductive groups introduced by Heinloth, Ngô, and Yun. This thesis aims to generalize the work of Fresán, Sabbah, and Yu on the L-functions of Kloosterman sheaves for SL2. We show that the L-functions of several Kloosterman sheaves for SLn+1 can be extended meromorphically to the complex plane and satisfy functional equations. In particular, some L-functions arise from modular forms, as predicted by conjectures of Evans type.We first construct motives over Q such that their l-adic realizations have the same L-functions as Kloosterman sheaves for SLn+1. Then we compute the Hodge numbers of the de Rham realizations of these motives by computing the irregular Hodge filtration. As long as we find a motive such that the Hodge numbers of its de Rham realization are either zero or one, we can apply a theorem of Patrikis and Taylor to show the potential automorphy of Galois representations. Contrary to the case of Kloosterman sheaves for SL2, the Hodge numbers can be bigger than one.When the corresponding motives of Kloosterman sheaves have dimension 2, we can use Serre's modularity conjecture to show that the L-functions of Kloosterman sheaves coincide with the L-functions of modular forms.
Les faisceaux de Kloosterman classiques sont des systèmes locaux l-adiques sur GmFv dont les traces de Frobenius sont des sommes de Kloosterman. Ce sont des cas particuliers des faisceaux de Kloosterman pour les groupes réductifs introduits par Heinloth, Ngô, et Yun. Cette thèse vise à généraliser le travail de Fresán, Sabbah et Yu sur les fonctions L des faisceaux de Kloosterman pour SL2. On montre que les fonctions L de plusieurs faisceaux de Kloosterman pour SLn+1 admettent un prolongement méromorphe au plan complexe et satisfont à une équations fonctionnelle. En particulier, certaines fonctions L proviennent de formes modulaires, comme des conjectures de type Evans prédissent.On construit d'abord des motifs sur Q tels que leurs réalisations l-adiques ont les mêmes fonctions L que les faisceaux de Kloosterman pour SLn+1. On calcule ensuite les nombres de Hodge des réalisations de Rham de ces motifs en calculant la filtration de Hodge irrégulière. Tant que l'on trouve un motif tel que les nombres de Hodge de sa réalisation de Rham soient soit zéro soit un, on peut appliquer un théorème de Patrikis et Taylor pour montrer l'automorphie potentielle des représentations galoisiennes. Contrairement au cas des faisceaux de Kloosterman pour SL2, les nombres de Hodge peuvent être supérieurs à un.Lorsque les motifs des faisceaux de Kloosterman sont de dimension deux, on peut utiliser la conjecture de modularité de Serre pour montrer que les fonctions L des faisceaux de Kloosterman coïncident avec des fonctions L de formes modulaires.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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