Ranges of random walks in random environments on trees
Traces de marches aléatoires en milieux aléatoires sur des arbres
Résumé
If we consider a random walk on a graph G, the range of this walk until a given instant n is defined to be the number of vertices visited by the walk up to the time n. When G is a super-critical Bienaymé-Galton-Watson marked tree, we introduce, on a realization of this process, a nearest-neighbour random walk. These walks are in general transient, but it can be added a bias towards the root so that the walk is recurrent. Introduced by R. Lyons, these processes present various behaviours and have been deeply studied by Y. Hu and Z. Shi. Lately, in some cases with a specific bias, it has been proved that the range (well renormalized) converges in probability towards an explicit positive constant (X. Chen and P. Andreoletti, E. Aïdékon and L. de Raphélis).The first part of this thesis is devoted to an extension of this result in the slow regime. We study a generalized range : instead of looking at the classical range, we are interested in a range with both constraints on the trajectories of the random walk and on the trajectories of the underlying branching random potential. An important example of that is to enforce the vertices visited by the walk to have a potential larger than a given value. By studying this generalized range, we do wish to highlight interactions between the random walk and its random branching potentiel.The second part of this thesis is dedicated to the diffusive random walk and most particularly to the genealogy of the set of vertices visited by the walk. We study a range with constraints on visited vertices to better understand interactions between them. We finally consider the following well known genealogy problem : pick k visited vertices uniformly and without replacement. What does their genealogical tree look like ? The study of the previous range with constraints allows to answer this question.
Si on considère une marche aléatoire à valeurs dans un graphe G, la trace de cette dernière jusqu’à un instant n donné est définie comme le nombre de sites distincts visités par la marche jusqu’à l’instant n. Lorsque G est un arbre de Bienaymé-Galton-Watson sur-critique marqué, nous introduisons, sur une réalisation de ce processus, une marche aléatoire au plus proche voisin. Ces marches sont, sauf dans certains cas particuliers, transientes. On ajoute donc un biais vers la racine qui, s’il est suffisant, va rendre la marche récurrente. Ces marches biaisées introduites par R. Lyons ont une grande richesse de comportements (voir notamment les travaux de Y. Hu et Z. Shi). En particulier, en prenant un biais aléatoire spécifique et en renormalisant convenablement, la trace converge en probabilité vers une constante explicite et strictement positive (X. Chen et P. Andreoletti, E. Aïdékon et L. de Raphélis). La première partie de cette thèse est consacrée à une extension de ce résultat dans le régime lent. Nous étudions une trace généralisée : au lieu de regarder seulement la trace usuelle, nous nous intéressons à des traces avec des contraintes à la fois le long des trajectoires de la marche aléatoire et le long de celles du potentiel branchant sous-jacent. Un exemple important est d’imposer que les sommets visités par la marche aient un potentiel supérieur à une valeur donnée. À travers l’étude de cette trace généralisée, nous souhaitons mettre en lumière les interactions entre la marche aléatoire et son potentiel aléatoire branchant. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la marche diffusive et plus particulièrement à la généalogie de l’ensemble des sommets visités par cette dernière. Nous étudions une trace avec des contraintes sur les sommets visités permettant ainsi de mieux comprendre les interactions entre ces derniers. Nous considérons enfin le fameux problème de généalogie suivant : tirons uniformément et sans remise k sommets visités par la marche aléatoire. À quoi ressemble l’arbre généalogique de ces sommets ? L’étude de la trace contrainte permet d’apporter quelques éléments de réponse.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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