Mean field optimal stopping and approximations of partial differential equations on Wasserstein space
Arrêt optimal champ-moyen et approximations d'équations aux dérivées partielles sur l'espace de Wasserstein
Résumé
This thesis consists in two parts.The first one is concerned with the study of the mean field optimal stopping problem,that is the optimal stopping of a McKean-Vlasov diffusion, when the criterion to optimize is a function of the stopped process. This problem models the situation where a central planner controls a continuous infinity of interacting agents by assigning a stopping time to each of them, in order to optimize some criterion which depends on the distribution of the system.We study this problem via a dynamic programming approach, which allows to characterize its value function by a partial differential equation on the space of probability measures, that we call obstacle problem (or equation) on Wasserstein space by analogy with the classical obstacle problem, which arises in particular in standard optimal stopping. We especially show that, if this equation has a classical solution, then it is equal to the value function of the mean field optimal stopping problem, and that it can be used to characterize optimal stopping policies.We next extend our study to the case where the value function is not necessarily dif- ferentiable. Thus, we introduce a notion of viscosity solution for the obstacle problem on Wasserstein space, for which we prove the properties of consistency with classical solutions, stability and uniqueness.In the second part of the thesis, we are interested in developing approximations for some classes of partial differential equations on the space of probability measures. More precisely, we show that viscosity solutions of these equations can be written as limits of viscosity solutions of equations defined on finite-dimensional spaces.We first focus our study on the case of the obstacle problem on Wasserstein space, for which it turns out that the approximating equation corresponds to the dynamic programming equation associated with the multiple optimal stopping problem, which may be seen as a finite population formulation of the mean field optimal stopping problem.We finally consider a larger class of parabolic equations on Wasserstein space. This class covers in particular the scope of mean field Hamilton-Jacobi-Bellman equations, or the case of equations arising in mean field differential games. We also prove that our results can be extended to the case of path-dependent equations (i.e., when the variables of the solution are not the time and a measure on R^d, but the time and a measure on the space of paths).
Cette thèse comporte deux parties.La première porte sur l’étude du problème d’arrêt optimal champ moyen, c’est-à-dire del’arrêt optimal d’une diffusion du type McKean-Vlasov, lorsque le critère à optimiser est une fonction de la distribution du processus arrêté. Ce problème permet de modéliser la situation où un planificateur central, contrôlant une population infinie d’agents en interaction, doit attribuer à chaque agent un temps d’arrêt en vue d’optimiser un certain critère dépendant de la distribution du système.Nous étudions ce problème via une approche type programmation dynamique, qui permet de caractériser sa fonction valeur par une équation aux dérivées partielles sur l’espace des mesures, que nous appelons problème (ou équation) de l’obstacle sur l’espace de Wasser- stein, par analogie avec le problème de l’obstacle classique, rencontré notamment en arrêt optimal standard. Nous montrons en particulier que si cette équation dispose d’une solution classique, alors cette dernière est égale à la fonction valeur du problème d’arrêt optimal champ-moyen, et peut être utilisée pour caractériser les stratégies d’arrêt optimales.Nous étendons ensuite cette étude au cas où la fonction valeur n’est pas nécessairement différentiable. Ainsi, nous introduisons une notion de solution de viscosité pour l’équation de l’obstacle sur l’espace de Wasserstein, pour laquelle nous montrons les propriétés de con- sistance avec les solutions classiques, de stabilité et d’unicité.Dans la seconde partie de la thèse, nous nous intéressons au développement d’approximations pour certaines classes d’équations aux dérivées partielles sur l’espace des mesures de prob- abilité. Plus précisément, nous montrons que les solutions de viscosité de ces équations peuvent s’écrire comme limites de solutions de viscosité d’équations définies sur des espacesde dimension finie.Nous nous intéressons d’abord au cas du problème de l’obstacle sur l’espace de Wasserstein, dont il s’avère que l’équation d’approximation correspond à l’équation de la programmation dynamique associée au problème d’arrêt optimal multiple, qui peut être vu comme une formulation du problème d’arrêt optimal champ-moyen en population finie.Nous traitons enfin le cas d’une classe plus générale d’équations paraboliques sur l’espace de Wasserstein. Cette classe couvre notamment le cas des équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman champ-moyen, ou encore celui des équations affleurant dans les problèmes de jeux différentiels champ-moyen. Nous montrons également que nos résultats peuvent être étendus aux équations dépendant de la trajectoire (c’est-à-dire, dont les variables de la solution ne sont plus le temps et une mesure sur R^d, mais le temps et une mesure sur l’espace des trajectoires continues).
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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