Graph Coloring and Recoloring
Coloration et recoloration de graphes
Résumé
This thesis falls within the field of graph theory, and more precisely of graph coloring with a focus on coloring reconfiguration and edge-coloring. In this thesis, we mainly study the Kempe swaps, a tool to locally transform a coloring into another coloring. This concept is one of the key ideas of the proof of the 4-color theorem. We first give an overview of the history of this tool, present how it became one of the most fruitful tool regarding graph coloring questions, and introduce questions that fall within the more general field of combinatorial reconfiguration that emerged from this concept.We then present our result on greedy edge-coloring and vertex-coloring reconfiguration of K_t-minor free graphs. Regarding edge-coloring reconfiguration, we prove in particular that all (chi'(G)+1)-colorings are Kempe equivalent (i.e. one can transform any coloring into any other coloring using only Kempe swaps), thus proving a conjecture of Vizing of 1965. We finally present our work on coloring of signed planar graphs, and on edge-coloring of triangle-free planar graphs of maximum degree 4.
Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la théorie des graphes, et plus précisément dans le cadre de la coloration de graphes avec une attention particulière portée à la coloration d'arêtes, et la reconfiguration de colorations. Dans cette thèse, nous étudions principalement les changements de Kempe, un outil de transformation locale d'une coloration en une autre coloration. Ce concept est une idée clef de la preuve du théorème des 4 couleurs. Nous donnons un aperçu de l'histoire de cet outil technique, décrivons la manière dont il est devenu l'un des outils les plus prolifiques quant aux questions de colorations de graphes, et présentons des questions, s'inscrivant dans le cadre plus général de la reconfiguration combinatoire, issues de ce concept.Nous présentons ensuite nos résultats sur la coloration gloutonne d'arêtes et la reconfiguration de coloration de sommets pour les graphes sans K_t comme mineurs. En ce qui concerne la reconfiguration de coloration d'arêtes, nous prouvons en particulier que toutes les (chi'(G)+1)-colorations sont Kempe-équivalentes entre elles (i.e. qu'il est possible de transformer n'importe quelle coloration en n'importe quelle autre coloration en utilisant uniquement des changements de Kempe), prouvant ainsi une conjecture de Vizing de 1965. Nous présentons enfin notre travail sur la coloration de sommets de graphes signés, et sur la coloration d'arêtes de graphes planaires sans triangle de degré maximum 4.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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