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Thèse Année : 2023

Arithmetic constructions of thin representations in higher rank Teichmüller spaces

Constructions arithmétiques de représentations fines dans les espaces de Teichmüller supérieurs

Résumé

In this thesis, we construct Zariski-dense surface subgroups in some higher rank lattices. More precisely, we exhibit infinitely many commensurability classes of both uniform and non-uniform lattices of SL(n,R), SO(k+1,k), Sp(2n,R) and G2 that contain images of representations in higher rank Teichmüller spaces. In the first part, we construct Hitchin representations with image in lattices. One of our main results is the classification of lattices that contain the image of a Fuchsian representation. The proof relies on the classification of forms of algebraic groups using non-abelian Galois cohomology. A ``bending" deformation then allows us to construct Zariski-dense surface subgroups in those lattices, and using the Strong Approximation Theorem we show that these deformations give infinitely many mapping class group orbits of Zariski-dense Hitchin representations with image in these lattices. As a corollary, combined with Long-Thistlethwaite who deal with the case SL(p,Z), we obtain that all non-uniform lattices of SL(p,R), where p is an odd prime, admit Zariski-dense Hitchin representations. Furthermore, every lattice of Sp(2n,R), except Sp(2n,Z), contains Zariski-dense Hitchin representations. Together with Long-Thistlethwaite for the case Sp(4,Z), this implies that all lattices of Sp(4,R) admit Zariski-dense surface subgroups. Similar results hold for SO(k+1,k) and G2. In the second part, we apply the above ideas to maximal representations in Sp(2n,R) and classify lattices that contain the image of a diagonal maximal representation. We then show that all lattices of Sp(2n,R), except Sp(2n,Z) when n is odd, contain infinitely many mapping class group orbits of Zariski-dense maximal representations that are not Hitchin. In particular, Sp(4k,Z) admits Zariski-dense surface subgroups for all k.
Dans cette thèse, nous construisons des sous-groupes de surface Zariski-denses dans certains réseaux en rang supérieurs. Plus précisément, nous exhibons une infinité de classes de commensurabilité de réseaux à la fois uniformes et non-uniformes de SL(n,R), SO(k+1,k), Sp(2n,R) et G2 qui contiennent les images de représentations dans des espaces de Teichmüller de rang supérieur. Dans la première partie, nous construisons des représentations Hitchin dont l'image est dans un réseau. Un de nos résultats principaux est la classification des réseaux qui contiennent l'image d'une représentation Fuchsienne. La preuve repose sur la classification des formes des groupes algébriques via la cohomologie de Galois non-abélienne. Une déformation par ``pliage" nous permet ensuite de construire des sous-groupes de surface Zariski-dense dans ces réseaux, et en utilisant le Théorème d'Approximation Forte nous montrons que ces déformations donnent une infinité d'orbites par le mapping class group de représentations Hitchin Zariski-denses avec image dans ces réseaux. Comme corollaire, combiné avec Long-Thistlethwaite qui traîte le cas SL(p,Z), nous obtenons que tous les réseaux non-uniformes de SL(p,R) , où p est premier et impair, admettent des représentations Hitchin Zariski-denses. En outre, tout réseau de Sp(2n,R), excepté Sp(2n,Z), contient des représentations Hitchin Zariski-denses. Avec Long-Thistlethwaite pour le cas Sp(4,Z), cela implique que tout réseau de Sp(4,Z) contient des sous-groupes de surface Zariski-denses. Des résultats similaires sont valables pour SO(k+1,k) et G2. Dans la deuxième partie, nous appliquons les idées ci-dessus aux représentations maximales dans Sp(2n,R) et classifions les réseaux qui contiennent l'image d'une représentation diagonale maximale. Nous montrons ensuite que tout réseau de Sp(2n,R), excepté Sp(2n,Z) quand n est impair, contient une infinité d'orbites par le mapping class group de représentations maximales Zariski-denses qui ne sont pas Hitchin. En particulier, Sp(4k,Z) admet des sous-groupes de surface Zariski-denses pour tout k.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04164666 , version 1 (18-07-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04164666 , version 1

Citer

Jacques Audibert. Arithmetic constructions of thin representations in higher rank Teichmüller spaces. Group Theory [math.GR]. Sorbonne Université, 2023. English. ⟨NNT : 2023SORUS163⟩. ⟨tel-04164666⟩
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