Nonlinear Galerkin methods in finite element and pseudo-spectral discretizations. Application to fluid mechanics
Méthodes de Galerkin non linéaires en discrétisation par éléments finis et pseudo-spectrale. Application à la mécanique des fluides
Résumé
For computing the solution of partial differential equations in fluid mechanics and physics, some new numerical schemes, the nonlinear Galerkin methods, mo tivated by concepts of the dynamical systems theory were developped by Marion and Temam.
In the case of a pseudo-spectral discretization, the first part is setting out theoretical motivations and principles of the new schemes with models of the turbulence. It is proved that the evolution of small scales can be frozen if the cut off number is near dissipation range : some criterions for the selection of small scales and some characteristic times are introduced and analyzed.
The second part concerns the description of the classical mixed, conforming P1-4P1 finite element method for computing the solution of the Navier-Stokes equations. The numerical difficulties due to the incompressibility, the nonlinearity and time evolution are described. A code which permits to obtain some data bases for the driven cavity, has been completely developped.
In the third part, small and large structures induced by the hierarchical basis are shown and studied (particularly in the large gradient region) in the perspective of implementing nonlinear Galerkin methods. Then a preconditioned conjugated gradient method for the Dirichlet problem is developped based on the multigrid structure of the hierarchical basis.
After a study of the numerical stability of the schemes with a linear case, the description of algorithms which consist of determining separately the different structures are proposed in the fourth part of this thesis. Some numerical results are presented for Burgers and Navier-Stokes problems in dimension two.
Pour résoudre les problèmes aux dérivées partielles issus de la mécanique des fluides et de la physique, de nouvelles méthodes numériques dites de Galerkin non linéaires s'appuyant sur des concepts de la théorie des systèmes dynamiques ont été développées par Marion et Temam.
Dans le cadre d'une discrétisation pseudo-spectrale, la première partie expose les motivations théoriques et propose le principe des nouveaux schémas en présence de modèles de turbulence. Nous montrons que l'évolution des petites échelles peut être figée à condition que la troncature soit proche de la zone de dissipation : des critères de détermination dynamique de ces petites échelles et des temps caractéristiques sont alors introduits et discutés.
La deuxième partie concerne la description d'une méthode classique en éléments finis mixtes, conformes P1-4P1 pour résoudre les équations de Navier-Stokes. Nous étudions en particulier les difficultés numériques liées à l'incompres-sibilité, la non linéarité et l'évolution en temps. Un code qui permet d'obtenir des bases de données pour la cavité entrainée, a été entièrement réalisé.
Dans la troisième partie, d'une part les grandes et petites structures introduites par la base hiérarchique sont mises à jour et étudiées (en particulier dans les zones de forts gradients) dans l'idée de mettre en place les méthodes de Galerkin non linéaires. D'autre part un préconditionneur du gradient conjugué appliqué au problème de Dirichlet est développé à partir de la structure multigrille de cette base.
Après une étude de la stabilité numérique des schémas sur un problème linéaire, la quatrième partie de ce travail expose les nouveaux algorithmes qui consistent à intégrer séparément les différentes structures. Les premiers résultats numériques sont proposés pour les problémes de Burgers et Navier-Stokes en dimension 2.
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