Etude des propriétés de rectifiabilité des sous-ensembles de R^n - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1996

Study of rectifiability properties of subsets of R^n

Etude des propriétés de rectifiabilité des sous-ensembles de R^n

Hervé Pajot

Résumé

The aim of this thesis is to relate the geometry of subsets (with dimension d) of R^, and in particular their rectifiability properties, to some L^2-estimates using P. W. Jones β_∞-function which measures how well the set can be ap- proximated by d-planes. With this function, P. W. Jones has given a characterization of subsets of rectifiable curves (The Geometrical Travelling Salesman Theorem in dimension one). The thesis is divided into four parts. In the first one, we prove that for an Ahlfors-regular set E with dimension one, if β_q(x,t)^2dxdt/t defines a Carleson measure on E x R+ (β_q is an L^q-version of the β_∞-function), then E is included in a Ahlfors-regular curve. A very beautiful application of this result is Mattila-Melnikov-Verdera’s theorem: they give a characterization of Ahlfors-regular sets E for which the Cauchy integral operator on E is bounded. The second part is devoted to a version of Jones’theorem in dimension two: we give an L^2-condition using β_∞-functions which implies that E is included in a surface Γ = f(R^2) where f is a “smooth” parametrization. In the third part, we prove that, for a compact set E of finite measure, if for almost all x in E, ∫_0^1 β_q^2(x,t)dt/t is finite, E is rectifiable. We then prove that this conditon is necessary and sufficient for the Ahlfors-regular sets. In this section, we give some covering theorems by Ahlfors-regular sets that we need for the proofs of the earlier results. In the last part, we give a property of corona decomposition for semi-regular sets. This theorem is a version of G. David and S. Semmes’result in the regular case related to the theory of uniform rectifiability.
L'objet de cette thèse est de relier la géométrie des sous-ensembles de R^n de dimension d, en particulier leurs propriétés de rectifiabilité, à certaines estimations L^2 faisant intervenir la fonction β_∞, de P. W. Jones, qui mesure la qualité de l'approximation de l'ensemble par des d-plans. Cette fonction a permis à Jones de donner une caractérisation des sous-ensembles de courbes rectifiables (Théorème géométrique du voyageur de commerce en dimension 1). La thèse se divise en quatre parties : Dans la première, on montre que pour un ensemble Ahlfors-régulier E de dimension 1, si β_q(x,t)^2dxdt/t (β_q est une version L^q de β_∞) définit une mesure de Carleson sur E x R+, alors E est inclus dans une courbe Ahlfors-régulière. Une très belle application de ce résultat est le théorème de Mattila, Melnikov et Verdera qui donne une caractérisation des ensembles réguliers sur lesquels l'opérateur de Cauchy est borné. La seconde partie est consacrée à une version du théorème géométrique du voyageur de commerce en dimension 2, c'est à dire nous donnons une condition semblable à celle de Jones pour qu'un ensemble E soit inclus dans une surface Γ = f(R^2) où f est un paramétrage assez régulier. Dans la troisième partie, on démontre que, modulo une hypothèse de densité, pour un ensemble compact E de dimension finie, si pour presque tout x de E, ∫_0^1 β_q^2(x,t)dt/t est fini, alors E est rectifiable, puis on montre que cette condition est une condition nécessaire et suffisante dans le cas des ensembles Ahlfors-réguliers. On a besoin pour ces preuves d'enoncer des théorèmes de recouvrement par des ensembles Ahlfors-réguliers. Enfin, dans la dernière partie, on établit une propriété de décomposition de la couronne pour les sous-ensembles semi-réguliers, en s'inspirant d'un résultat (lié à la théorie de la rectifiabilité uniforme) de G. David et S. Semmes pour les ensembles réguliers.
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  • HAL Id : tel-04195439 , version 1

Citer

Hervé Pajot. Etude des propriétés de rectifiabilité des sous-ensembles de R^n. Mathématiques [math]. Université Paris-Sud, 1996. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04195439⟩
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