Weil-étale cohomology in dimension 1 and special values of L-functions at 0 and 1
Cohomologie Weil-étale en dimension 1 et valeurs spéciales de fonctions L en 0 et 1
Résumé
The goal of this thesis is to define and study the Weil-étale cohomology of integral arithmetic schemes of dimension 1 (i.e. of curves over finite fields and of open sub-schemes of spectra of orders in number fields) with coefficients given by Z-constructible sheaves or, in characteristic 0, their duals (as for instance Néron models of tori over number fields). Following the formalism established by Flach—B. Morin, by combining the determinant of Weil-étale cohomology with the determinant of an additive complex, one defines a fundamental line, which has a canonical trivialization by a duality theorem with real coefficients. The trivialization of the fundamental line gives an Euler characteristic. We show that the special values at 0 of natural L-functions attached to the considered coefficients are given up to sign by the Euler characteristic. There are three particular cases of interest: we obtain a formula for the special value at s=0 and s=1 for the Artin L-functions of rational representations; a special value formula at s=0 for the zeta function of an order, and at s=1 for a slight modification of the latter, which generalizes the analytic class number formula; and finally one can obtain Tate's formula for the Euler characteristic of a number field from the formula at s=0 for a constructible sheaf. Our result for Z-constructible coefficients generalizes and improves work of Geisser—Suzuki and Tran, while that for duals of Z-constructibles is the analogue in the number field case of a result of Geisser—Suzuki in the function field case.
Le but de cette thèse est de définir et d’étudier la cohomologie Weil-étale des schémas arithmétiques intègres de dimension 1 (i.e. des courbes sur les corps finis et des ouverts de spectres d’ordres dans des corps de nombres) à coefficients donnés par des faisceaux Z-contructibles ou, en caractéristique 0, leurs duaux (comme par exemple des modèles de Néron de tores sur des corps de nombres). Selon le formalisme établi par Flach—B. Morin, en couplant le déterminant de la cohomologie Weil-étale avec le déterminant d’un complexe additif on définit une droite fondamentale, qui a une trivialisation canonique par un théorème de dualité à coefficients réels. La trivialisation de la droite fondamentale donne une caractéristique d’Euler. On montre que les valeurs spéciales en 0 de fonctions L associées naturellement aux coefficients sont données au signe près par la caractéristique d’Euler. On obtient trois cas particuliers intéressants : une formule de valeur spéciale en s=0 et s=1 pour les fonctions L d’Artin de représentations rationnelles ; une formule de valeur spéciale en s=0 pour la fonction zêta d'un ordre et en s=1 pour une légère modification de cette dernière, ce qui généralise la formule analytique du nombre de classes ; enfin la formule en s=0 pour un faisceau constructible permet de retrouver la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler d'un corps de nombres. Notre résultat pour les coefficients Z-constructibles généralise et améliore des travaux de Geisser—Suzuki et Tran, tandis que celui pour les duaux de Z-constructibles est l'analogue dans le cas des corps de nombres d'un résultat de Geisser—Suzuki dans le cas des corps de fonctions.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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