Les batteries à métaux liquides (BMLs) sont une solution prometteuse pour le stockage à grande échelle des énergies renouvelables qui sont produites de manière intermittente. Ces BMLs sont moins chères et peuvent fonctionner plus longtemps que les batteries habituelles. Elles sont composées de trois couches : une électrode négative en métal liquide, un électrolyte en sel fondu et une électrode positive, alliage formé avec le métal liquide supérieur. Les BMLs sont des systèmes multiphysiques dans lesquels des instabilités magnétohydrodynamiques se produisent et des écoulements apparaissent pendant le fonctionnement. Les écoulements peuvent être néfastes, car ils peuvent déformer les interfaces jusqu'à induire un court-circuit. Ils peuvent cependant aussi être utiles pour mélanger l'alliage, ce qui limite la chute du potentiel de la cellule. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur le problème du mélange de l’alliage. Nous présentons d'abord des contributions pré-doctorales. Dans une première partie, nous étudions l'effet de la flottabilité solutale sur l'écoulement electrovortex. Nous montrons que, pendant la décharge, cet écoulement n'est pas assez intense pour s’opposer à la flottabilité et donc ne peut pas mélanger l'alliage. Cependant, l'écoulement electrovortex tournant, qui se produit sous l’action d'un champ magnétique externe, mélange efficacement l'alliage. Pendant la charge, se met en place de la convection solutale qui est vraiment efficace pour mélanger l'alliage. La flottabilité solutale a alors une influence significative sur l'écoulement. Dans une seconde partie, nous étudions le transfert de gouttes de l'électrode négative vers l'électrode positive. Nous montrons que, selon les prototypes, le détachement et le transfert de gouttes peuvent se produire au cours du fonctionnement. Dans certains cas, cela peut conduire à des courts-circuits. Ensuite, nous caractérisons l'écoulement electrovortex tournant. Nous menons une étude numérique paramétrique tridimensionnelle et axisymétrique afin de mieux comprendre les différents régimes d'écoulement. Nous choisissons comme prototype un cylindre rempli d'un métal liquide et connecté symétriquement à deux fils, ce qui crée un écoulement similaire à l'écoulement de von Kármán. Nous analysons l'impact des différents paramètres sur l'intensité de l'écoulement et fournissons des lois d'échelle. Nous nous intéressons par la suite à l'amélioration de notre modèle pour les BMLs. Pour cela, le potentiel électrique doit être considéré comme une variable locale dans les équations, et non pas calculé en post-traitement comme fait dans nos études précédentes. La distribution du potentiel électrique est influencée par un saut de potentiel qui apparaît à l'interface alliage-électrolyte. Ce saut affecte les distributions de courant et de concentration. Cependant, notre solveur est basé sur une formulation en champ magnétique et ne calcule pas le potentiel électrique. Nous déterminons une nouvelle condition d'interface, en utilisant la variable de champ magnétique, qui modélise les distributions de potentiel discontinues à une interface. Nous validons numériquement cette nouvelle formulation. Ensuite, nous implémentons la concentration dans ce modèle et étudions l'impact du saut de potentiel sur la composition de l'alliage. Nous montrons que ce saut affecte modérément la distribution de la concentration, mais influence le potentiel de la cellule. Il est alors plus exact de considérer le saut dans le modèle. Dans la dernière partie, nous étudions les écoulements électrocapillaires qui apparaissent en raison du saut de potentiel électrique, qui modifie localement la tension de surface. Nous montrons que la flottabilité solutale a un impact significatif sur l'écoulement, localisé dans une petite zone proche de l'interface alliage-électrolyte. L'écoulement est capable de mélanger cette zone et de limiter la chute du potentiel de la cellule.