Stabilization of wave equations
Stabilisation des équations des ondes
Résumé
This thesis focuses on three problems in the context of the stabilization of wave equations. We consider different frameworks and we use techniques based on the multipliers method. First, we study the stability of the wave equation with non-linear localized damping in a standard Hilbertian framework in two dimensions. The proof is based on the work already existing in the case of a non-localized damping. We add a localization as well as disturbances. We prove the exponential stability of strong solutions in the absence of disturbances and also a weak Input-To-State stability property with respect to the considered disturbances. We next consider a more general functional framework, namely an L^p framework with p in (1,infty). We study the L^p stability of the wave equation with a linear and localized damping in one dimension since it is not always possible to define the wave operator in higher dimensions when p = 2. We prove the exponential stability of the problem by generalizing the multipliers of the Hilbertian framework in this new general framework, with a different proof for 1 2. We also prove in the same problem but with particular cases of a global constant damping, an exponential stability in the case p=1 and p=infty. We consider next the nonlinear case of the previous problem: relying on a linearizing technique, we reduce that study to that of the linear problem case in order to prove the exponential stability of the non-linear problem.
Cette thèse traite trois problèmes liés à la stabilisation des équations des ondes. Nous considérons différents cadres fonctionnels et nous utilisons des techniques de démonstration basées sur la méthode des multiplicateurs. Tout d'abord, nous étudions la stabilité de l'équation des ondes avec un amortissement non-linéaire et localisé dans un cadre hilbertien standard en dimension deux. La preuve est basée sur des travaux existants dans le cas d'un amortissement non-localisé. Rajoutons une localisation ainsi que des perturbations. Nous démontrons la stabilité exponentielle le long des solutions fortes en l'absence de perturbation ainsi qu'une sorte stabilité au sens Input-To-State par rapport aux perturbations considérées. Dans un deuxième travail, nous considérons un cadre fonctionnel plus général non forcément hilbertien, c-a-d un cadre L^p avec p appartient (1,infini). Nous étudions la stabilité L^p de l'équation des ondes avec un amortissement linéaire et localisé. Cette étude n'est effectuée qu'en dimension un car il n'est pas toujours possible de définir l'opérateur des ondes en dimensions supérieures lorsque p différent 2. Nous démontrons la stabilité exponentielle du problème en généralisant les multiplicateurs du cadre hilbertien dans notre cadre plus général, avec des preuves différentes suivant que 1 2. Nous démontrons également dans le même problème mais avec des cas particuliers d'un amortissement global et constant, une stabilité exponentielle dans le cas p=1 et p=infini. Dans un troisième travail, nous considérons la version non-linéaire du problème précédent: en nous basant sur une technique de linéarisation, nous nous ramenons à la preuve du problème linéaire pour démontrer la stabilité exponentielle du non-linéaire.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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