Wave propagation in quasi-periodic media
Propagation des ondes dans des milieux quasi-périodiques
Résumé
The goal of this thesis is to develop efficient numerical methods for the solution of the time-harmonic wave equation in quasiperiodic media, in the spirit of methods previously developed for periodic media. The goal is to use as in quasiperiodic homogenization the idea that an elliptic PDE with quasiperiodic coefficients can be interpreted as the cut of a higher-dimensional PDE which is elliptically degenerate, but with periodic coefficients. The periodicity property allows to use adapted tools, but the non-elliptic aspect makes the mathematical and numerical analysis of the PDE delicate. One application concerns transmission problems between periodic half-spaces (typically photonic crystals) when (1) the interface does not cut the periodic half-spaces in a direction of periodicity, or (2) when the periodic media have noncommensurate periods along the interface.
L'objectif de la thèse est de développer des méthodes numériques originales pour la résolution de l'équation des ondes en régime harmonique dans des milieux quasi-périodiques, dans l'esprit des méthodes développées précédemment pour des milieux périodiques. L'idée est d'utiliser comme dans des travaux d'homogénéisation quasi-périodique le fait que l'étude d'une EDP elliptique avec des coefficients quasi-périodiques se ramène à l'étude d'une EDP elliptiquement dégénérée en dimension supérieure, mais dont les coefficients sont périodiques. Le caractère périodique permet d'utiliser des outils adaptés, mais le caractère non-elliptique rend toutefois l'analyse mathématique et numérique de l'EDP délicate. Une des applications étudiées dans ce manuscrit concerne des problèmes de transmission entre des demi-plans périodiques (typiquement des cristaux photoniques) quand (1) l'interface ne coupe pas les demi-plans périodiques dans une direction de périodicité, ou (2) quand les milieux périodiques n'ont pas des périodes commensurables le long de l'interface.
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