Concurrent two-player antagonistic games on graphs
Jeux concurrents à deux joueurs antagonistes sur les graphes
Résumé
We study games played by two players, Player A and Player B, on a graph. Starting from a state of the graph, the players interact to move from state to state. This induces an infinite sequence of states, which is mapped to a value in [0, 1] by a measurable payoff function. Player A (resp. B) tries to maximize (resp. minimize) the expected value of this payoff function.Turn-based games, i.e. games where at each state only one player chooses a (probability distribution over) successor state, enjoy many nice properties.For instance, in all deterministic win/lose turn-based games, from each state,one of the players has a winning strategy. In addition, in finite turn-based parity games, both players have positional optimal strategies from each state.By contrast, concurrent games, i.e. games where at each state both players interact concurrently, i.e. simultaneously, to generate a probability distributionover successor states, behave much more poorly. Indeed, there are very simple deterministic concurrent parity games such that: neither player has a winning strategy; neither player has an optimal strategy, even a stochastic one. Inaddition, when optimal strategies do exist, they may require infinite memory. The goal of this dissertation is to give significant insight on how concurrent games behave. To do so, we study the notion of game form. Game forms arethe mathematical objects that describe the (local) interactions of the players at each state of a concurrent game. Game forms are defined by a set of local strategies per player, a set of outcomes and a function mapping a pair of one local strategy per player to a probability distribution over outcomes. Generally,in the literature on concurrent games, local interactions are standard (finite)game forms: the sets of local strategies are distributions over underlying (finite) sets of actions. In this dissertation, we define and study more general gameforms, which we call arbitrary game forms. Some of the results we prove hold even with arbitrary local interactions, the others use a standard assumption onthe local interactions involved.First, we prove general results on concurrent games, with very few assumptions on the payoff functions and local interactions involved. In particular, we consider a crucial result on concurrent games: Martin's result on Blackwell determinacy, which can be stated as follows. Consider a concurrent game whereall local interactions are standard finite. From each state, there is a value u in[0, 1] such that Player A's (resp. B's) strategies can guarantee that the expected value of the measurable payoff function is above (resp. below) any threshold below (resp. above) u. We generalize this result to games with arbitrary gameforms. We deduce from this generalization other results on concurrent games,possibly using standard local interactions, which could not have been obtained directly from the original result by Martin. We also prove other results on concurrent games, in particular results related to subgame optimal strategies.Second, we study how finite-state concurrent parity games behave in termsof existence and nature of (almost and/or subgame) optimal strategies, with very few assumptions on the local interactions involved.Third, we define subsets of concurrent games that enjoy some of the nice properties of turn-based games while being more general than turn-based games.These subsets are constructed via local-global transfers, which is a novel approach. Specifically, given a desirable property on concurrent games, we first characterize the game forms that ensure that all simple games using them aslocal interactions satisfy this property. Thus, we characterize the game formsthat behave well individually. We then show that all concurrent games that use these game forms as local interactions also satisfy this property. Thus, we show that these game forms also behave well collectively, hence globally.
On étudie des jeux à deux joueuses (A et B) sur des graphes. À partir d'un état du graphe, les joueuses interagissent pour aller d'un état à un autre.Ceci induit une suite infinie d'états à laquelle une fonction de gain mesurable associe une valeur dans [0, 1]. La Joueuse A (resp. B) tente de maximiser (resp.minimiser) l'espérance de cette fonction de gain.Les jeux à tours, i.e. les jeux tels qu'à chaque état une seule joueuse choisit(une loi de probabilités sur) l'état suivant, ont de nombreuses bonnes propriétés.Par exemple, dans tous les jeux à tours perd/gagne déterministes, une joueuse a une stratégie gagnante. De plus, dans les jeux de parité à tours finis, les deux joueuses ont des stratégies optimales positionnelles. A contrario, les jeux concurrents, i.e. les jeux tels qu'à chaque état les deux joueuses concourent au choix d'une loi de probabilité sur les états suivants, se comportent mal. Ainsi, il existe des jeux concurrents de parité déterministes tels que : aucune des joueuses n'a de stratégie gagnante ; aucune joueuse n'a de stratégie optimale, même stochastique. De plus, lorsque c'est possible, jouer de manière optimale peut nécessiter une mémoire infinie. Le but de ce manuscrit est d'enrichir notre compréhension du comportement des jeux concurrents. Pour ce faire, on étudie la notion de forme de jeu. Les formes de jeu sont les objets mathématiques qui décrivent les interactions (locales) des joueuses à chaque état d'un jeu concurrent. Les formes de jeu sont définies par un ensemble de stratégies locales par joueuse, un ensemble d'issues et une fonction envoyant une paire d'une stratégie locale par joueuse sur une loi de probabilités sur les issues. Généralement, dans les articles sur les jeux concurrents, les interactions locales sont des formes de jeu standard (finies) :les ensembles de stratégies locales sont des lois de probabilités sur les ensembles(finis) d'actions sous-jacents. Ici, on définie des formes de jeu plus générales,que l'on appelle formes de jeu arbitraires. Certains des résultats établis dans ce manuscrit supposent que les interactions locales sont standard, tandis que les autres ne font pas de telles hypothèses.Premièrement, on prouve des résultats généraux sur les jeux concurrents,avec très peu d'hypothèses sur les fonctions de gain et les interactions locales.En particulier, on considère un résultat crucial sur les jeux concurrents : la détermination de Blackwell de Martin, qui peut être énoncé comme suit. Soit un jeu concurrent dont toutes les interactions locales sont standards finies.Depuis chaque état, il existe une valeur u dans [0, 1] telle que les stratégies de la Joueuse A (resp. B) peuvent garantir que l'espérance de la fonction de gain est au moins (resp. au plus) égal à n'importe quel seuil en-dessous(resp. au-dessus) de u. On généralise ce résultat aux jeux dont les formes de jeu sont arbitraires et en déduisons d'autres résultats sur les jeux concurrents. On prouve également d'autres résultats sur les jeux concurrents, en particulier sur les stratégies optimales en sous-jeu. Deuxièmement, on étudie le comportement des jeux de parité concurrents finis en termes d'existence et de nature des stratégies (presque) optimales (en sous-jeu), avec très peu d'hypothèses sur les interactions locales.Troisièmement, on définie des ensembles de jeux concurrents qui ont certaines des propriétés des jeux à tours tout en étant plus généraux que les jeux à tours. Ainsi, étant donné une propriété souhaitable des jeux concurrents, oncaractérise tout d'abord les formes de jeu qui garantissent que tous les jeuxsimples qui les utilisent comme interactions locales satisfont cette propriété. Oncaractérise ainsi les formes de jeu qui se comportent bien individuellement. Onmontre ensuite que tous les jeux concurrents qui utilisent ces formes de jeucomme interactions locales satisfont également cette propriété. Ces formes de jeux se comportent également bien collectivement.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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