Singular Foliations and Gauge Theories
Feuilletages singuliers en géométrie différentielle
Résumé
Singular foliations are defined as certain submodules of vector fields, whose flows decompose the manifold into injectively immersed leaves of possibly different dimensions. In the presence of a Riemannian metric, seeking compatibility between the leaves and the Riemannian structure leads to the notion of geometric singular Riemannian foliations, as described by Molino. Here, we adopt a different approach to adapt the notion of singular Riemannian foliations to capture the rich algebraic properties of the singular foliation. Our notion naturally interacts with Poisson geometry and motivates the definition of I-Poisson manifolds as a relaxation of the category of Poisson manifolds. We compare singular Riemannian foliations in our sense and Molino’s, showing that our notion is more restrictive and distinguishable by the example of the singular octonionic Hopf foliation. Constructed upon the octonionic Hopf fibration, the singular octonionic Hopf foliation exemplifies a locally non-homogeneous singular foliation, i.e., it cannot be generated by local isometries. However, we construct a Lie groupoid inducing this singular foliation and a universal Lie infinity algebroid, demonstrating the minimality of the dimension for the Lie groupoid.
Les feuilletages singuliers sont définis comme certains sous-modules de champs vectoriels, dont les flots décomposent la variété en feuilles injectivement immergées de dimensions potentiellement différentes. En présence d'une métrique riemannienne, la recherche de compatibilité entre les feuilles et la structure riemannienne conduit à la notion de feuilletages riemanniens singuliers géométriques, tels que décrits par Molino. Ici, nous adoptons une approche différente pour adapter la notion de feuilletages riemanniens singuliers afin de capturer les riches propriétés algébriques du feuilletage singulier. Notre concept interagit naturellement avec la géométrie de Poisson et motive la définition des variétés I-Poisson comme une relaxation de la catégorie des variétés de Poisson. Nous comparons les feuilletages riemanniens singuliers dans notre sens et celui de Molino, montrant que notre notion est plus restrictive et se distingue par l'exemple du feuilletage singulier octonionique de Hopf. Construit sur la fibration de Hopf octonionique, le feuilletage singulier octonionique de Hopf illustre un feuilletage singulier localement non homogène, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être généré par des isométries locales. Cependant, nous construisons un groupoïde de Lie induisant ce feuilletage singulier et un algébroïde de Lie infinie universel, démontrant la minimalité de la dimension pour le groupoïde de Lie.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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