Tropical linear series, combinatorial flag arrangements and applications to the study of Weierstrass points
Séries linéaires tropicales, arrangements combinatoires de drapeaux et applications à l'étude des points de Weierstrass
Résumé
We first introduce new combinatorial objects called “matricubes”, a natural generalization of matroids. In the same way that matroids provide a combinatorial axiomatization of hyperplane arrangements in a vector space, matricubes abstract arrangements of flags. As for matroids, we provide cryptomorphic definitions of matricubes in terms of rank function, flats, circuits, and independent sets. We provide precise connections between matricubes and permutation arrays, and propose a description of matricubes in terms of local matroids.We then use matricubes to develop a purely combinatorial theory of limit linear series on metric graphs. This is based as well on the formalism of slope structures, which constrains the slopes of tropical meromorphic functions. We show that combinatorial linear series arise naturally by tropicalizing linear series on algebraic curves. We explore their topological properties and develop tools to study them. We provide a full classification of combinatorial linear series of rank one, showing that they are in one-to-one correspondence with harmonic morphisms from the graph to metric trees. This entails a smoothing theorem.Finally, we study tropical Weierstrass points, which are analogues, on tropical curves, of ramification points of line bundles on algebraic curves. The tropical Weierstrass locus of a divisor on a metric graph can be infinite. Nevertheless, we associate intrinsic weights to each of its connected components. We prove that the total weight of the tropical Weierstrass locus depends only on the degree of the divisor, its rank, and the genus of the tropical curve. Furthermore, in the case the metric graph is the tropicalization of an algebraic curve, we show, using combinatorial linear series, that our weights count the number of algebraic Weierstrass points which are tropicalized to each connected component of the tropical locus.In each of these contributions, we discuss multiple examples and ask open questions leading to other perspectives of research.
Nous introduisons d'abord un nouvel objet combinatoire nommé “matricube”, une généralisation naturelle des matroïdes. De même que les matroïdes fournissent une axiomatisation combinatoire des arrangements d'hyperplans dans un espace vectoriel, les matricubes représentent des arrangements de drapeaux. Comme pour les matroïdes, nous donnons des définitions cryptomorphes des matricubes en termes de fonction de rang, plats, circuits et indépendants. Nous donnons des liens précis entre les matricubes et les tableaux de permutation, et proposons une description des matricubes selon des matroïdes locaux.Nous utilisons ensuite les matricubes pour développer une théorie purement combinatoire des séries linéaires sur les graphes métriques. Ceci se fonde également sur le formalisme des structures de pentes, donnant des contraintes sur les pentes des fonctions méromorphes tropicales. Nous montrons que les séries linéaires combinatoires apparaissent naturellement par tropicalisation de séries linéaires sur des courbes algébriques. Nous explorons leurs propriétés topologiques et développons des outils pour les étudier. Nous proposons une classification complète des séries linéaires combinatoires de rang un, montrant qu'elles sont en bijection avec les morphismes harmoniques du graphe vers des arbres métriques. Ceci donne un théorème de lissification.Enfin, nous étudions les points de Weierstrass tropicaux, qui sont des analogues, sur les courbes tropicales, de points de ramification de fibrés en droites sur les courbes algébriques. Le lieu de Weierstrass tropical d'un diviseur sur un graphe métrique peut être infini. Cependant, nous associons un poids intrinsèque à chacune de ses composantes connexes. Nous montrons que le poids total du lieu de Weierstrass tropical ne dépend que du degré du diviseur, de son rang, et du genre de la courbe tropicale. De plus, dans le cas d'un graphe métrique obtenu comme tropicalisation d'une courbe algébrique, nous montrons, en utilisant les séries linéaires combinatoires, que ces poids comptent le nombre de points de Weierstrass algébriques tropicalisés sur chaque composante connexe du lieu tropical.Dans chacune de ces contributions, nous présentons de nombreux exemples et posons des questions ouvertes menant vers d'autres perspectives de recherche.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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