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Theses Year : 2005

Theoretical and numerical studies of the primitive equations of the ocean without viscosity

Etudes théoriques et numériques des équations primitives de l'océan sans viscosité

(1)
1
Antoine Rousseau
  • Function : Author
  • PersonId : 3416
  • IdHAL : aroussea

Abstract

This work is dedicated to the Primitive Equations (PEs) of the ocean, both from the theoretical and numerical viewpoints. The PEs are fundamental equations of geophysical fluid dynamics, based on the hydrostatic and Boussinesq approximations. Here we consider them without viscosity, in a bounded domain, which actually makes the problem ill-posed with any set of local boundary conditions, as shown in the introduction. In the first part (chapters 1 to 4), we study a slight modification of the hydrostatic equation, adding a friction term of size delta, which is a small parameter. We establish existence, uniqueness and regularity results, and study the asymptotic behaviour of the solutions as delta goes to 0. The numerical simulations evidence some boundary layers and reflexion phenomena at the boundary of the domain. We then confirm the numerical observations with a rigorous proof, obtained with the help of the corrector theory. In the second part (chapters 5 and 6), we go back to the original hydrostatic formulation of the PEs, and propose a set of transparent boundary conditions for the linearized equations. We prove the well-posedness of the corresponding boundary value problem, and perform numerical simulations in which we implement the boundary conditions that we introduced, both in the linear and nonlinear cases. As expected, the boundary layers and reflexion phenomena encountered before disappear.
Cette thèse regroupe un ensemble d'analysesmathématiques et de simulations numériques relatives aux équations primitives de l'océan (EP) sans viscosité, en domaine borné. Les EP sont des équations bien connues de la mécanique des fluides, qui s'appuient sur les approximations hydrostatique et de Boussinesq. On rappelle en introduction pourquoi ces équations, considérées avec des conditions aux limites de type local, sont mal posées. Dans une première partie (chapitres 1 à 4), on s'intéresse à une modification de l'équation hydrostatique au moyen d'un terme de friction proportionnel à un petit paramètre delta. On démontre des résultats d'existence, d'unicité et de régularité des solutions avant d'étudier le comportement de ces solutions lorsque delta tend vers $0$. Des résultats numériques montrent que des couches limites et des réflexions se produisent aux frontières du domaine. Les phénomènes observés numériquement sont alors confirmés par une preuve rigoureuse effectuée grâce à la théorie des correcteurs. Dans une seconde partie (chapitres 5 et 6), on revient à la formulation hydrostatique d'origine des EP, et l'on propose un jeu de conditions aux limites transparentes pour le système linéarisé. Une preuve du caractère bien posé du problème aux limites ainsi obtenu justifie l'introduction de telles conditions aux limites, qui sont ensuite implémentées dans une simulation numérique confirmant que les phénomènes de couches limites et de réflexions aux frontières sont ainsi évités, aussi bien sur les équations non linéaires que sur le linéarisé.
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Dates and versions

tel-00009504 , version 1 (15-06-2005)

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  • HAL Id : tel-00009504 , version 1

Cite

Antoine Rousseau. Theoretical and numerical studies of the primitive equations of the ocean without viscosity. Mathematics [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2005. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00009504⟩
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