High resolution spectral analysis of irregularly sampled data: application to Astrophysics
Analyse spectrale à haute résolution de signaux irrégulièrement échantillonnés : application à l'Astrophysique.
Résumé
The study of many astrophysical phenomena is based on the search for periodicities from time series, as light or radial velocity curves.
Because of observation constraints, astrophysical data generally suffer missing data and irregular sampling. Thus, Fourier-based spectral analysis may not be satisfactory, and widespread heuristic CLEAN deconvolution methods may lack accuracy.
This thesis addresses spectral analysis as an inverse problem, where the spectrum is discretized on an arbitrarily thin frequency grid. Regularization is then addressed by taking into account the prior sparseness of the solution, as we focus on line spectra estimation.
A first approach considers the minimization of a penalized least-squares criterion, where the penalization function is designed to retrieve sparse solutions. In particular, penalization by the l1-norm is studied in application to complex variables, that shows a satisfactory behavior in terms of prior modeling. Several powerful optimization algorithms are developed that allow a very high spectral resolution.
Second, a probabilistic regularization is studied by modeling the spectral amplitudes as the realization of a Bernoulli-Gaussian process. Bayesian posterior mean estimation is then addressed using Monte-Carlo Markov Chain methods, which enable a fully unsupervised procedure. The probabilistic interpretation of the estimator combined with variance information for each estimated parameter then provides confidence levels, which is crucial information for astronomy. Significant algorithmic improvements are proposed to accelerate the classic Gibbs sampling algorithm. Then, continuous-valued frequency shifts are introduced that substantially improve the frequency precision at a reasonable computational cost.
Simulations illustrate the estimation quality for each method and the performances of the proposed algorithms. An application to astrophysical experimental data is finally presented that brings out the advantage of this methodology compared to classic spectral analysis methods.
Because of observation constraints, astrophysical data generally suffer missing data and irregular sampling. Thus, Fourier-based spectral analysis may not be satisfactory, and widespread heuristic CLEAN deconvolution methods may lack accuracy.
This thesis addresses spectral analysis as an inverse problem, where the spectrum is discretized on an arbitrarily thin frequency grid. Regularization is then addressed by taking into account the prior sparseness of the solution, as we focus on line spectra estimation.
A first approach considers the minimization of a penalized least-squares criterion, where the penalization function is designed to retrieve sparse solutions. In particular, penalization by the l1-norm is studied in application to complex variables, that shows a satisfactory behavior in terms of prior modeling. Several powerful optimization algorithms are developed that allow a very high spectral resolution.
Second, a probabilistic regularization is studied by modeling the spectral amplitudes as the realization of a Bernoulli-Gaussian process. Bayesian posterior mean estimation is then addressed using Monte-Carlo Markov Chain methods, which enable a fully unsupervised procedure. The probabilistic interpretation of the estimator combined with variance information for each estimated parameter then provides confidence levels, which is crucial information for astronomy. Significant algorithmic improvements are proposed to accelerate the classic Gibbs sampling algorithm. Then, continuous-valued frequency shifts are introduced that substantially improve the frequency precision at a reasonable computational cost.
Simulations illustrate the estimation quality for each method and the performances of the proposed algorithms. An application to astrophysical experimental data is finally presented that brings out the advantage of this methodology compared to classic spectral analysis methods.
L'étude de nombreux phénomènes astronomiques repose sur la recherche de périodicités dans des séries temporelles (courbes de lumière ou de vitesse radiale). En raison des contraintes observationnelles, la couverture temporelle des données résultantes est souvent incomplète, présentant des trous périodiques ainsi qu'un échantillonnage irrégulier. L'analyse du contenu fréquentiel de telles séries basée sur le spectre de Fourier s'avère alors inefficace et les méthodes heuristiques de déconvolution de type CLEAN, couramment utilisées en astronomie, ne donnent pas entière satisfaction. Cette thèse s'inscrit dans le formalisme fréquemment rencontré depuis les années 1990 abordant l'analyse spectrale sous la forme d'un problème inverse, le spectre étant discrétisé sur une grille fréquentielle arbitrairement fine. Sa régularisation est alors envisagée en traduisant la nature a priori parcimonieuse de l'objet à reconstruire: nous nous intéressons ici à la recherche de raies spectrales.
Une première approche envisagée a trait au domaine de l'optimisation et consiste à minimiser un critère de type moindres carrés, pénalisé par une fonction favorisant les solutions parcimonieuses. La pénalisation par la norme l1 est en particulier étudiée en extension à des variables complexes et s'avère satisfaisante en termes de modélisation. Nous proposons des solutions algorithmiques particulièrement performantes permettant d'envisager une analyse à très haute résolution fréquentielle.
Nous étudions ensuite la modélisation probabiliste des amplitudes spectrales sous la forme d'un processus Bernoulli-Gaussien, dont les paramètres sont estimés au sens de la moyenne a posteriori à partir de techniques d'échantillonnage stochastique, permettant d'envisager une estimation totalement non supervisée. L'interprétation probabiliste du résultat ainsi que l'obtention conjointe des variances associées, sont alors d'un intérêt astrophysique majeur, s'interprétant en termes de niveaux de confiance sur les composantes spectrales détectées. Nous proposons dans un premier temps des améliorations de l'algorithme échantillonneur de Gibbs permettant d'accélérer l'exploration de la loi échantillonnée. Ensuite, nous introduisons des variables de décalage fréquentiel à valeur continue, permettant d'augmenter la précision de l'estimation sans trop pénaliser le coût calculatoire associé.
Pour chaque méthode proposée, nous illustrons sur des simulations la qualité de l'estimation ainsi que les performances des algorithmes développés. Leur application à un jeu de données issu d'observations astrophysiques est enfin présentée, mettant en évidence l'apport d'une telle méthodologie par rapport aux méthodes d'analyse spectrale habituellement utilisées.
Une première approche envisagée a trait au domaine de l'optimisation et consiste à minimiser un critère de type moindres carrés, pénalisé par une fonction favorisant les solutions parcimonieuses. La pénalisation par la norme l1 est en particulier étudiée en extension à des variables complexes et s'avère satisfaisante en termes de modélisation. Nous proposons des solutions algorithmiques particulièrement performantes permettant d'envisager une analyse à très haute résolution fréquentielle.
Nous étudions ensuite la modélisation probabiliste des amplitudes spectrales sous la forme d'un processus Bernoulli-Gaussien, dont les paramètres sont estimés au sens de la moyenne a posteriori à partir de techniques d'échantillonnage stochastique, permettant d'envisager une estimation totalement non supervisée. L'interprétation probabiliste du résultat ainsi que l'obtention conjointe des variances associées, sont alors d'un intérêt astrophysique majeur, s'interprétant en termes de niveaux de confiance sur les composantes spectrales détectées. Nous proposons dans un premier temps des améliorations de l'algorithme échantillonneur de Gibbs permettant d'accélérer l'exploration de la loi échantillonnée. Ensuite, nous introduisons des variables de décalage fréquentiel à valeur continue, permettant d'augmenter la précision de l'estimation sans trop pénaliser le coût calculatoire associé.
Pour chaque méthode proposée, nous illustrons sur des simulations la qualité de l'estimation ainsi que les performances des algorithmes développés. Leur application à un jeu de données issu d'observations astrophysiques est enfin présentée, mettant en évidence l'apport d'une telle méthodologie par rapport aux méthodes d'analyse spectrale habituellement utilisées.
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