Algorithms on closure systems and their representations
Algorithmes pour les systèmes de fermeture et leurs représentations
Résumé
Knowledge Space Theory (KST) is a field of mathematical psychology which aims to assess and represent students knowledge. Its core structures, knowledge spaces, are equivalent to closure systems (or lattices). Apart from KST, closure systems are used in numerous fields of computer science such as Formal Concept Analysis, propositional logic, database theory, combinatorial optimization or argumentation theory for instance. Because of their size, closure systems are often encoded with compact representations such as implications or meet-irreducible elements. In this thesis, we focus on two problems regarding closure systems and their representations.
We begin with the problem of translating between the two representations of a closure system. This famous open problem generalizes hypergraph dualization. Our approach here is to hierarchically decompose a set of implications with partitioning operations called (acyclic) splits. We deduce a recursive characterization of the meet-irreducible elements of the associated closure system. As a consequence,
we obtain new types of closure systems for which the translation can be done in output-quasipolynomial time using hypergraph dualization.
Next, we study forbidden sets in closure systems. Here, the tasks we handle is the enumeration of the closed sets (the sets in the closure system) that are admissible and preferred (minimal or maximal admissible) with respect to a family of forbidden sets. With the help of dualization in lattices, we obtain several intractability results. On the positive side, we derive output-polynomial time algorithms under various restrictions concerning the Carathéodory number, forbidden pairs and forbidden co-pairs of elements.
La théorie des espaces de connaissance est un domaine de la psychologie mathématique dont l'objectif principal est de fournir des outils informatiques permettant de représenter et évaluer la connaissance des étudiants. L'objet central de cette théorie, les espaces de connaissances, est mieux connu sous le nom de système de fermeture (ou treillis). Les systèmes de fermeture sont utilisés dans de nombreux domaines de l'informatique tels que l'analyse formelle des concepts, la logique propositionnelle, la théorie des bases de données, l'optimisation combinatoire ou la théorie de l'argumentation. Toutefois, en raison de leur taille, les systèmes de fermetures sont souvent représentés implicitement par des implications ou par leurs éléments inf-irréductibles. Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes concernant les systèmes de fermeture et leurs représentations.
Dans un premier temps, nous nous intéressons au problème de traduction entre les représentations d'un système de fermeture. Ce problème ouvert bien connu est une généralisation du problème de dualisation des hypergraphes. Notre approche consiste en une décomposition hiérarchique d'une base d'implications reposant sur l'opération de split (acyclique). Nous déduisons de cette opération une caractérisation récursive des inf-irréductibles du système de fermeture associé. De cette caractérisation, nous obtenons alors de nouvelles classes de systèmes de fermeture dans lesquels l'énumération des inf-irréductibles peut-être conduite en temps total quasi polynomial, en nous reposant sur la dualisation des hypergraphes.
Ensuite, nous étudions les familles d'ensembles interdits dans les systèmes de fermeture. Plus précisément, nous considérons les problèmes d'énumération des ensembles fermés (les éléments du système de fermeture) qui sont admissibles ou préférés (parmi les admissibles, les minimaux ou les maximaux) par rapport à une famille d'ensembles interdits. En utilisant la dualisation dans les treillis, nous donnons plusieurs résultats de complexité. D'autre part, nous obtenons des algorithmes totaux polynomiaux ou quasi polynomiaux sous certaines restrictions concernant les paires ou co-paires interdites et le nombre de Carathéodory d'un système de fermeture.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|